적어주신 사이트는 gnb영역이 아예 없네요.

헤더페이지 편집화면 > GNB영역을 감싸는 바깥쪽 DIV의 D버튼 클릭 > 수정
> div속성 입력란에 style="display:none" 을 추가해주시면 gnb가 안나옵니다.

로고, GNB 를 그대로 두고 메뉴와 전화 버튼만 위쪽으로 이동시킨다는 말씀이신가요?
아니면 예시 사이트처럼 로고, GNB 모두 제거하고 비주얼 위에 버튼을 위에 띄운다는 말씀이신가요?

만약 버튼 위치만 변경하시는 것이라면, 고객님 사이트의 모바일에 적용된 좌측/우측 아이콘 이미지를 변경하신 후에 해당 버튼의 위치를 상단으로 옮겨서 사용하시면 될 것 같습니다.

메인페이지 헤더&메타&JS에 아래 소스를 추가해 주세요.
<style>
.slide-btn-a, .slide-btn-b { top:20px; }
</style>

예시 사이트처럼 비주얼 위에 바로 버튼을 띄우시는 것이라면, 헤더페이지에서 로고, GNB 영역을 삭제하신 후에 해당 버튼의 위치를 상단으로 옮겨서 사용하시면 될 것 같습니다.